MATEMATICA E LOGICA — DOMANDE TIPICHE DA CONCORSO
Le prove preselettive dei concorsi per le forze dell'ordine contengono quasi sempre quesiti di logica e ragionamento numerico. Ecco le tipologie più frequenti con le tecniche di risoluzione.
PROPORZIONI E PROPORZIONALITÀ
Proporzione: a sta a b come c sta a d (a : b = c : d). Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (a × d = b × c). Esempio: 3 : 6 = 5 : x. Risoluzione: 3 × x = 6 × 5 = 30; x = 30 / 3 = 10.
Domanda tipica: Se 4 operai completano un lavoro in 12 giorni, quanti giorni impiegano 6 operai? Proporzionalità inversa: 4 × 12 = 6 × x; x = 48 / 6 = 8 giorni.
PERCENTUALI
Per calcolare il x% di un numero N: (N × x) / 100. Esempio: il 15% di 200 = (200 × 15) / 100 = 30. Aumento percentuale: nuovo = vecchio × (1 + x/100). Diminuzione: nuovo = vecchio × (1 - x/100). Esempio: un oggetto costa 80 euro e aumenta del 25%. Nuovo prezzo = 80 × 1,25 = 100 euro.
Domanda tipica: Un articolo costava 150 euro e viene scontato del 20%. Quanto costa? 150 × 0,80 = 120 euro. Quanto si risparmia? 30 euro.
Attenzione al trabocchetto: se un prezzo aumenta del 50% e poi diminuisce del 50%, NON torna al valore iniziale. Esempio: 100 + 50% = 150; 150 - 50% = 75 (non 100).
SERIE NUMERICHE
Le serie numeriche chiedono di trovare il numero mancante. Strategie: verificare se la differenza tra numeri consecutivi è costante (serie aritmetica); verificare se il rapporto è costante (serie geometrica); verificare se le differenze formano a loro volta una serie; verificare se i numeri alternano due serie diverse; verificare potenze o quadrati.
Esempio 1: 2, 5, 8, 11, 14, ? → differenza costante +3 → risposta: 17.
Esempio 2: 3, 6, 12, 24, ? → rapporto costante ×2 → risposta: 48.
Esempio 3: 1, 4, 9, 16, 25, ? → quadrati: 1², 2², 3², 4², 5² → risposta: 36 (6²).
Esempio 4: 2, 3, 5, 8, 13, 21, ? → ogni numero è la somma dei due precedenti (Fibonacci) → risposta: 34.
Esempio 5: 1, 2, 4, 7, 11, 16, ? → differenze: +1, +2, +3, +4, +5 → risposta: 22.
SILLOGISMI (ragionamento deduttivo)
Il sillogismo è un ragionamento con due premesse e una conclusione. Struttura classica: tutti gli A sono B; tutti i B sono C; quindi tutti gli A sono C.
Esempio: "Tutti i carabinieri sono militari. Tutti i militari sono cittadini italiani. Quindi tutti i carabinieri sono cittadini italiani." → CORRETTO.
Attenzione all'errore logico: "Tutti i gatti sono animali. Tutti i cani sono animali. Quindi tutti i gatti sono cani." → SBAGLIATO (il termine medio "animali" è predicato in entrambe le premesse).
Tecnica: usare i diagrammi di Eulero-Venn (cerchi concentrici o sovrapposti) per visualizzare le relazioni.
ANALOGIE VERBALI
Formato: A sta a B come C sta a ? Esempio: "Medico sta a ospedale come insegnante sta a ?" → scuola. "Occhio sta a vista come orecchio sta a ?" → udito. "Roma sta a Italia come Parigi sta a ?" → Francia. "Ieri sta a domani come passato sta a ?" → futuro.
CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI
Condizione necessaria: senza di essa l'evento non può verificarsi (ma non basta da sola). Condizione sufficiente: la sua presenza garantisce l'evento. Esempio: "Per guidare è necessario avere la patente" → la patente è condizione necessaria (senza non si può) ma non sufficiente (serve anche l'auto).
NEGAZIONE LOGICA
Negazione di "tutti sono": "almeno uno non è" (NON "nessuno è"). Negazione di "nessuno è": "almeno uno è". Negazione di "qualcuno è": "nessuno è". Esempio: la negazione di "Tutti gli studenti sono promossi" è "Almeno uno studente non è promosso" (NON "Nessuno studente è promosso").
PROBABILITÀ BASE
Probabilità di un evento = casi favorevoli / casi possibili. Esempio: probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 1/13. Probabilità di un evento certo = 1. Probabilità di un evento impossibile = 0.
VELOCITÀ, TEMPO, DISTANZA
Velocità = Distanza / Tempo. Distanza = Velocità × Tempo. Tempo = Distanza / Velocità. Esempio: un'auto percorre 240 km in 3 ore. Velocità media = 240 / 3 = 80 km/h.
Velocità media di andata e ritorno: se vado a 60 km/h e torno a 40 km/h, la velocità media NON è 50 km/h. Formula: 2 × v1 × v2 / (v1 + v2) = 2 × 60 × 40 / 100 = 48 km/h.